Системы счисления чисел

Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн

Калькулятор переводит числа из одной системы счисления в любую другую. Он может переводить числа из двоичной в десятичную или из десятичной в шестнадцатеричную, показывая подробный ход решения. Вы с легкостью можете перевести число из троичной в пятеричную или даже из семеричной  в семнадцатеричную.

Калькулятор умеет переводить числа из любой системы счисления в любую другую.

Поставить LIKE и поделиться ссылкой
  • Калькулятор
  • Инструкция
  • Теория
  • История
  • Сообщить о проблеме

Ура!!! Вам стало интересно как получилось данное число

Вы ввели число: в системе счисления и хотите перевести его в .

Для этого переведем его сначала в десятичную вот так :

Получилось:

Результат перевода:

  1. Введите число которое надо перевести.
  2. Укажите его систему счисления.
  3. Укажите в какую систему счисления переводить.

  4. Нажмите кнопку «Перевести».
  5. Для получения подробного хода решения нажмите кнопку «Показать ход решения».

Калькулятор перевода чисел имеет одно поле для ввода.

В это поле необходимо ввести число которое Вы хотите перевести.

После этого Вам обязательно нужно указать в какой системе счисления Вы его ввели. Для этого под полем ввода есть графа «Его система счисления».

Если Вы не нашли своей системы, то выберите графу «другая» и появится поле ввода . В это поле необходимо вписать основание системы одним числом без пробелов.
Далее необходимо выбрать в какую систему хотите перевести данное число. Если Вы опять не нашли нужной системы то введите ее в графе «другая».

После нажмите кнопку «ПЕРЕВЕСТИ» и результат появится в соответствующем поле. Если Вы хотите получить подробный ход решения, то нажмите на соответствующую ссылку.

С детства на всех учат считать. Сначала до 10, потом до 100 и так далее. В этом случае в нашем распоряжении только десять значащих цифр — это от 0 до 9. Именно поэтому такая система исчисления получила название десятичная.

Что бы в десятичной системе счисления посчитать пятнадцать предметов приходится использовать две цифры — это 1 и 5.
Заметьте что единица показывает сколько десяток, а в числе 100 одна десятка десятков или десяток в квадрате.

В числе 1000 единица говорит о том что в нем одна десятка десятки десяток или десяток в кубе.

Теперь посмотрим например на двоичную систему счисления. В ней всего две значащие цифры — это 0 и 1. А теперь давайте посчитаем всего два предмета в этой системе:

0 предметов = 02

1 предмет = 12
2 предмета = 102 Все. Цифры закончились. Мы снова вынуждены использовать цифры 0 и 1 и записывать их рядом.
Заметьте что в числе 102 единица говорит что здесь одна двойка. В числе 1002 одна двойка двоек или двойка в квадрате. В числе 10002 единица говорит о том что в нем одна двойка двойки двоек или двойка в кубе.

Подведем итог:
102 = 1*2 = 2 — одна двойка
103 = 1*3 = 3 — одна тройка
1010 = 1*10 = 10 — одна десятка
1016 = 1*16 = 16 — одна шестнадцати десятка

1002 = 1*2*2 = 4 — одна двойка двоек или двойка в квадрате
1003 = 1*3*3 = 9 — одна тройка троек или тройка в квадрате
10010 = 1*10*10 = 100 — одна десятка десятков или десятка в квадрате
10016 = 1*16*16 = 256 — одна шестнадцати десятка шестнадцати десятков или 16 в квадрате

Вот именно так любое число в любой системе счисления можно перевести в десятичную.

Сообщите нам о возникшей проблеме в результате расчета на этом калькуляторе.

Источник: http://calculatori.ru/perevod-chisel.html

Система счисления 2 (стр. 1 из 2)

Содержание

Что такое система счисления?

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Сложение в различных системах счисления

Вычитание в различных системах счисления

Умножение в различных системах счисления

Деление в различных системах счисления

Что такое система счисления?

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием .

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами :

· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво ;

· возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

· двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – «p « . Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p :

N = an pn +an-1 pn-1 + … +a1 p+a0 +a-1 p-1 +a-2 p-2 + … (1.1)

здесь N – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p >1 ). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N = an an -1 a 1 a 0 . a -1 a -2

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16 .

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.125102 с.с.

Системы счисления называются кратными , если выполняется соотношение: S = RN , где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).

Для перевода числа из системы счисления R в кратную ей систему счисления S поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системы счисления S .

Таблица

Для перевода числа из системы счисления S в кратную ей систему счисления R достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим числом из системы счисления R , при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00 512) и младших (15,124000 ) разрядах.

Источник: http://MirZnanii.com/a/310102/sistema-schisleniya-2

Какие существуют системы счисления

Инструкция

Существующие системы счисления можно разделить на три основных вида: позиционные, смешанные и непозиционные.

В позиционных системах счисления знак или цифра может иметь различное значение в зависимости от позиции. Система определяется количеством применяемых в ней символов. Наиболее популярная и используемая повсеместно десятичная система счисления.

В ней все числа представлены определенной последовательностью десяти цифр от 0 до 9.

Работа всей цифровой техники основана на двоичной системе счисления. В ней применяются всего два символа: 1 и 0.

Все огромное множество чисел представлены различными комбинациями данных цифр.

При определенных расчетах применяются троичная и восьмеричная системы счисления. Известен также так называемый счет дюжинами или двенадцатеричная система счисления.

В информатике и программировании имеет большую популярность шестнадцатеричная система счисления, так как она позволяет записать машинное слово – единицу данных при программировании.

Смешанные системы счисления схожи с позиционными.

В смешанных системах числа представлены возрастающей последовательностью. Взаимосвязь между членами этой последовательности может быть абсолютно разной.

Так, к смешанной системе счисления можно отнести последовательность Фибоначчи, каждое число в которой равно сумме двух предыдущих чисел последовательности, начиная с 1. То есть последовательность имеет вид 1, 1 (1+0), 2 (1+1), 3 (1+2), 5 (2+3) и так далее.

Если представлять запись времени в формате день-час-минута-секунда, то это тоже смешанная система счисления. Любой из членов последовательности можно выразить через минимальный, то есть через секунду. Часто используемым в математике примером смешанной системы также является факториальная система счисления, представленная последовательностью факториалов.

В непозиционных системах счисления значение символа системы фиксировано и не зависит от его положения. Применяются эти системы крайне редко, к тому же они сложны математически. Характерными примерами таких систем являются: система счисления Штерна-Броко, система остаточных классов, биномиальная система счисления.

В разное время у разных народов применялось множество систем счисления. Так, например, большой популярностью обладала римская система счисления, известная по сей день. В ней для записи чисел использовались латинские буквы V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000.

Также были известны такие системы счисления, как единичная, пятеричная, вавилонская, еврейская, алфавитная, древнеегипетская, числа майя, кипу, инков.

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-902914-kakie-suschestvuyut-sistemy-schisleniya

Перевод из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую необходимо владеть основными сведениями о системах счисления и форме представления чисел в них.

Количество s различных цифр, употребляемых в системе счисления, называется основанием, или базой системы счисления. В общем случае положительное число X в позиционной системе с основанием s может быть представлено в виде полинома:

где s — база системы счисления,- цифры, допустимые в данной системе счисления. Последовательностьобразует целую часть X, а последовательность- дробную часть X.

В вычислительной технике наибольшее применение нашли двоичная (BIN — binary), и двоично кодированные системы счисления: восьмеричная (OCT — octal), шестнадцатеричная (HEX — hexadecimal) и двоично-кодированная десятичная (BCD — binary coded decimal).

В дальнейшем для обозначения используемой системы счисления число будет заключаться в скобки, а в индексе указано основание системы. Число X по основанию s будет обозначено.

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

Основанием системы счисления служит число 2 (s = 2) и для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Чтобы представить любой разряд двоичного числа, достаточно иметь физический элемент с двумя чётко различными устойчивыми состояниями, одно из которых изображает 1, а другое 0.

Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в двоичную, нужно внимательно изучить пример записи числа в двоичной системе счисления:

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

Эти системы счисления относятся к двоично-кодированным, в которых основание системы счисления представляет собой целую степень двойки:- для восьмеричной и- для шестнадцатеричной.

В восьмеричной системе счисления(s = 8) используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в восьмеричную, нужно внимательно изучить пример записи числа в восьмеричной системе:

В шестнадцатеричной системе счисления (s = 16) используются 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Пример записи числа в шестнадцатеричной системе:

Широкое применение восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления обусловлено двумя факторами.

Во-первых, эти системы позволяют заменить запись двоичного числа более компактным представлением (запись числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах будет соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной записи этого числа).

Во-вторых, взаимное преобразование чисел между двоичной системой с одной стороны и восьмеричной и шестнадцатиречной — с другой осуществляется сравнительно просто.

Действительно, поскольку для восьмеричного числа каждый разряд представляется группой из трёх двоичных разрядов (триад), а для шестнадцатеричного — группой из четырёх двоичных разрядов (тетрад), то для преобразования двоичного числа достаточно объединить его цифры в группы по 3 или 4 разряда соответственно, продвигаясь от разделительной запятой вправо и влево. При этом, в случае необходимости, добавляют нули слева от целой части и/или справа от дробной части и каждую такую группу — триаду или тетраду — заменяют эвивалентной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой (см. таблицу).

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

Соответствие между цифрами в различных системах счисления

DEC BIN OCT HEX BCD
0000 0000
1 0001 1 1 0001
2 0010 2 2 0010
3 0011 3 3 0011
4 0100 4 4 0100
5 0101 5 5 0101
6 0110 6 6 0110
7 0111 7 7 0111
8 1000 10 8 1000
9 1001 11 9 1001
10 1010 12 A 0001 0000
11 1011 13 B 0001 0001
12 1100 14 C 0001 0010
13 1101 15 D 0001 0011
14 1110 16 E 0001 0100
15 1111 17 F 0001 0101

Для обратного перевода каждая OCT или HEX цифра заменяется соответственно триадой или тетрадой двоичных цифр, причём незначащие нули слева и справа отбрасываются.

Для рассмотренных ранее примеров это выглядит следующим образом:

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

В двоично-десятичной системе вес каждого разряда равен степени 10, как в десятичной системе, а каждая десятичная цифра кодируется четырьмя двоичными цифрами. Для записи десятичного числа в BCD-системе достаточно заменить каждую десятичную цифру эквивалентной четырёхразрядной двоичной комбинацией:

Любое десятичное число можно представить в двоично-десятичной записи, но следует помнить, что это не двоичный эквивалент числа. Это видно из следующего примера:

Пусть X — число в системе счисления с основанием s, которое требуется представить в системе с основанием h. Удобно различать два случая.

В первом случаеи, следовательно, при переходе к основанию h можно использовать арифметику этой системы.

Метод преобразования состоит в представлении числав виде многочлена по степеням s, а также в вычислении этого многочлена по правилам арифметики системы счисления с основанием h.

Так, например, удобно переходить от двоичной или восьмеричной системы счисления к десятичной. Описанный приём иллюстрируют следующие примеры:

.

.

В обоих случаях арифметические действия выполняются по правилам системы счисления с основанием 10.

Во втором случае () удобнее пользоваться арифметикой по основанию s. Здесь следует учитывать, что перевод целых чисел и правильных дробей производится по различным правилам. При переводе смешанных дробей целая и дробная части переводятся каждая по своим правилам, после чего полученные числа записываются через запятую.

Перевод целых чисел

Правила перевода целых чисел становится ясным из общей формулы записи числа в произвольной позиционной системе. Пусть числов исходной системе счисления s имеет вид. Требуется получить запись числа в системе счисления с основанием h:

.

Для нахождения значенийразделим этот многочлен на h:

.

Как видно, младший разряд, то есть, равен первому остатку. Следующий значащий разрядопределяется делением частногона h:

.

Остальныетакже вычисляются путём деления частных до тех пор, покане станет равным нулю.

Пример 1. Перевести число 75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Решение:

Если Вам не нужно углубляться в теорию, а нужно лишь получить результат, то воспользуйтесь Калькулятором онлайн Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в другие системы.

Перевод правильных дробей

Правильную дробь, имеющую в системе с основанием s вид, можно выразить в системе счисления с основанием h как многочлен вида

Старшая цифраможет быть найдена умножением этого многочлена на h, т.е.

Если это произведение меньше 1, то цифраравна 0, если же оно больше или равно 1, то цифраравна целой части произведения. Следующая цифра справаопределяется путём умножения дробной части указанного выше произведения на h и выделения его целой части и т.д. Процесс может оказаться бесконечным, т.к. не всегда можно представить дробь по основанию h конечным набором цифр.

Описанная процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа X в h-ичной системе счисления.

Представлением дробной части числа X в новой системе счисления будет последовательности целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображённых h-ичной цифрой.

Абсолютная погрешность перевода числа X при p знаков после запятой равняется.

Пример 2. Перевести правильную дробь 0,453 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

* В двоичную систему:

Ответ:

** В восьмеричную систему:

Ответ:

*** В шестнадцатеричную систему:

Ответ: так как, то

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/calculus2.html

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

После того, как я сделал несколько калькуляторов для перевода между разными системами счисления — вот список от первой до последней версии, от самого простого к сложному: Перевод числа в другие системы счисления, Перевод из десятичной системы счисления, Перевод из одной системы счисления в другую — в комментариях стали периодически спрашивать — а что же, мол, дробные числа, как же их переводить? И когда спросили больше трех раз, я таки решил изучить этот вопрос.

Результатом стал калькулятор, который вы видите ниже, он умеет переводить и дробные числа в том числе. Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.

Знаков после запятой: 8

Исходное число в десятичной системе счисления

Переведенное число в десятичной системе счисления

Погрешность перевода (в десятичном выражении)

Максимальная погрешность перевода (в десятичном выражении)

Теперь теория. Я, честно говоря, думал, что вопрос довольно сложный, но при ближайшем рассмотрении все оказалось проще простого. Надо было только держать в голове тот факт, что речь идет о позиционных системах счисления.
В чем тут суть? Рассмотрим на примере десятичного числа 6.125. Это дробное число в десятичной системе счисления представляется так:

Все просто, не так ли? Та же самая простота сохраняется и при записи дробного числа в любой другой системе счисления. Возьмем, например, горячо любимую каждым программистом двоичную систему и число, например, 110.001. Эта запись есть не что иное как

Да-да, число для примера было выбрано не просто так. То есть, 110.001 в двоичной системе есть 6.125 в десятичной. Принцип, я думаю, ясен.

Есть только одно но — все-таки из-за того, что здесь участвую дроби с разными знаменателями, не всегда одно и тоже число можно одинаково точно выразить в разных системах счисления. Что я имею в виду?

Возьмем, например, число. Отлично смотрится в десятичной системе счисления. Но вот если попробовать получить запись этого числа в двоичной системе счисления — будут проблемы. Попробуем, пока не устанем

Продолжать можно еще довольно долго, но уже сейчас видно, что 0.8 в десятичной системе это 0.11001100…(дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100… будет продолжаться до бесконечности.

Поэтому перевод дробного числа из одной системы счисления в другую чаще всего дает погрешность. Погрешность эта зависит от того, сколько разрядов мы используем для записи дробной части переведенного числа. Возьмем пример с числом 0.

8 и используем для записи его двоичного представления шесть разрядов после запятой — 0.110011. Полученное число вовсе не 0.8, а 0.796875, разница при этом составляет 0.003125. Это и есть наша погрешность перевода десятичного числа 0.

8 в двоичный вид при использовании шести разрядов после запятой.

Вес крайнего правого разряда (самого младшего разряда) называется разрешением (resolution) или точностью (precision), и определяет наименьшее неравное нулю число, которое может быть представлено данным числом разрядов. Для нашего примера это. При этом максимально возможная погрешность представления числа, как нетрудно сообразить, не превышает половины этого веса, или 0.0078125. Так что для 0.8 мы имеем еще и не самую плохую погрешность.

Вот, собственно, и все.

Источник: https://planetcalc.ru/862/

Системы счисления. Перевод систем счисления

Разберем одну из важнейших тем по информатике — Системы счисления. В школьной программе она раскрывается довольно «скромно», скорее всего, из-за недостатка отведенных на нее часов.

Знания по этой теме, особенно на перевод систем счисления, являются обязательным условием для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗы на соответствующие факультеты.

Ниже подробным образом рассмотрены такие понятия, как позиционные и непозиционные системы счисления, даны примеры этих систем счисления, представлены правила перевода целых десятичных чисел, правильных десятичных дробей и смешанных десятичных чисел в любую другую систему счисления, перевода чисел из любой системы счисления в десятичную, перевода из восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления в двоичную систему счисления. На экзаменах в большом количестве встречаются задачи по данной теме. Умение их решать – одно из требований к абитуриентам. Скоро: По каждой теме раздела, помимо подробного теоретического материала, будут представлены практически все возможные варианты задач для самостоятельного изучения. Кроме того, у вас появится возможность совершенно бесплатно скачать с файлообменника уже готовые подробные решения к данным задачам, иллюстрирующие различные способы получения верного ответа.

епозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления — системы счисления, в которых количественное значение цифры не зависит от ее местоположения в числе.

К непозиционным системам счисления относится, например, римская, где вместо цифр — латинские буквы.

I 1 (один)
V 5 (пять)
X 10 (десять)
L 50 (пятьдесят)
C 100 (сто)
D 500 (пятьсот)
M 1000 (тысяча)

Здесь буква V обозначает 5 независимо от ее местоположения. Однако стоит упомянуть о том, что хотя римская система счисления и является классическим примером непозиционной системы счисления, не является полностью непозиционной, т.к. меньшая цифра, стоящая перед большей, вычитается из нее:

IL 49 (50-1=49)
VI 6 (5+1=6)
XXI 21 (10+10+1=21)
MI 1001 (1000+1=1001)

озиционные системы счисления

Позиционные системы счисления — системы счисления, в которых количественное значение цифры зависит от ее местоположения в числе.

Например, если говорить о десятичной системе счисления, то в числе 700 цифра 7 означает «семь сотен», но эта же цифра в числе 71 означает «семь десятков», а в числе 7020 — «семь тысяч».

Каждая позиционная система счисления имеет свое основание. В качестве основания выбирается натуральное число, большее или равное двум. Оно равно количеству цифр, используемых в данной системе счисления.

    Например:

  • Двоичная — позиционная система счисления с основанием 2.
  • Четверичная — позиционная система счисления с основанием 4.
  • Пятиричная — позиционная система счисления с основанием 5.
  • Восьмеричная — позиционная система счисления с основанием 8.
  • Шестнадцатиричная — позиционная система счисления с основанием 16.

Чтобы успешно решать задачи по теме «Системы счисления», ученик должен знать наизусть соответствие двоичных, десятичных, восьмеричных и шестнадцатиричных чисел до 1610:

10 с/с 2 с/с 8 с/с 16 с/с
1 1 1 1
2 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 8
9 1001 11 9
1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20

Полезно знать, как получаются числа в этих системах счисления. Можно догадаться, что в восьмеричной, шестнадцатиричной, троичной и других позиционных системах счисления все происходит аналогично привычной нам десятичной системе:

К числу прибавляется единица и получается новое число. Если разряд единиц становится равен основанию системы счисления, мы увеличиваем число десятков на 1 и т.д.

Этот «переход единицы» как раз и пугает большинство учеников. На самом же деле все довольно просто. Переход происходит, если разряд единиц становится равен , мы увеличиваем число десятков на 1. Многие, помня старую добрую десятичную систему моментально путаются в разряда и в этом переходе, ведь десятичный и, например, двоичный десятки — разные вещи.

Отсюда у находчивых учеников появляются «свои методики» (на удивление… работающие) при заполнении, например, таблиц истинности, первые столбцы (значения переменных) которых, фактически, заполняются двоичными числами в порядке возрастания.

Для примера разберем получение чисел в восьмеричной системе: К первому числу (0) прибавляем 1, получаем 1. Затем к 1 прибавляем 1, получаем 2 и т.д. до 7.

Если мы прибавим к 7 единицу, получим число равное основанию системы счисления, т.е. 8. Тогда нужно увеличить на единицу разряд десятков (получаем восьмеричный десяток — 10).

Далее, очевидно, идут числа 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, …, 27, 30, …, 77, 100, 101…

равила перевода из одной системы счисления в другую

Далее последовательно разбирается перевод систем счисления.

1 Перевод целых десятичных чисел в любую другую систему счисления

Число нужно разделить на новое основание системы счисления. Первый остаток от деления — это и есть первая младшая цифра нового числа.

Если частное от деления меньше или равно новому основанию, то его (частное) нужно снова разделить на новое основание. Деление нужно продолжать, пока не получим частное меньше нового основания.

Это есть старшая цифра нового числа (нужно помнить, что, например, в шестнадцатиричной системе после 9 идут буквы, т.е. если в остатке получили 11, нужно записать его как B).

Пример («деление уголком»): Переведем число 17310 в восьмеричную систему счисления.

Таким образом, 17310=2558

2 Перевод правильных десятичных дробей в любую другую систему счисления

Число нужно умножить на новое основание системы счисления. Цифра, перешедшая в целую часть — старшая цифра дробной части нового числа.

для получения следующей цифры дробную часть получившегося произведения опять нужно умножать на новое основание системы счисления, пока не произойдет переход в целую часть.

Умножение продолжаем, пока дробная часть не станет равна нулю, либо пока не дойдем до указанной в задаче точности («… вычислить с точностью, например, двух знаков после запятой»).

Пример: Переведем число 0,6562510 в восьмеричную систему счисления.

Таким образом, 0,6562510=0,528

3 Перевод смешаных десятичных чисел в любую другую систему счисления

Переводим отдельно целую часть, отдельно дробную — записываем в одно число.

Пример: Переведем число 17,2510 в восьмеричную систему счисления.

По аналогии с пунктом 1: 1710 = 218

По аналогии с пунктом 2: 0,2510 = 0,28

«Склеиваем» два числа и получаем ответ: 17,2510 = 21,28.

4 Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную

Числа необходимо представить в разложении по степеням той системы счисления, в которой находится число, при чем цифры числа необходимо записать в десятичном эквиваленте. Найти арифметическую сумму.

Пример: Переведем число 1011,012 в десятичную систему счисления.

1) Чтобы представить число в разложении по степеням, нужно найти запятую и проставить «карандашиком» влево и вправо от запятой степени над цифрами числа (слева — неотрицательные степени, т.е. начинаем с нуля; справа — отрицательные, начиная с -1):

13 02 11 10, 0-1 1-22

2) Далее умножаем каждую цифру на основание системы счисления, в которой находится число, возведенное в соответствующую «подписанную» степень (помним, что любое число в нулевой степени — это единица):

1011,012 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 =
= 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 1/22 = 11 + 1/4 = 11 + 0,25 = 11,2510

Ответ: 11,2510.

5 Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную

Каждую цифру восьмеричного числа нужно заменить соответствующей двоичной триадой ( * * * ) — например, для цифры 7 — 111, для 3 — 011. Незначащие нули можно отбросить.

Пример: Переведем число 274,068 в двоичную систему счисления.

Просто заменяем все числа триадами:

2 7 4, 0 6 -> 010 111 100, 000 110

274,068 = 10111100,000112

Ответ: 10111100,000112.

6 Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную

Несложно догадаться, что на этот раз мы просто разбиваем число на триады и заменяем восьмеричными цифрами (помним, что разбивать начинаем «от запятой» влево и вправо; там, где не хватает дополняем незначащими нулями).

Пример: Переведем число 1111,01100112 в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем на триады и заменяем:

001'111,011'001'100 -> 1'7,3'1'4

1111,01100112 = 17,3148

Ответ: 17,3148.

Откуда же появились эти «триады»?

Да это же степень, в которую нужно возвсти двойку, чтобы получить основание 8!

Очевидно, что для шестнадцатиричной системы счисления появятся тетрады («тетра» — четыре) и т.д.

4 = 22
8 = 23 Триады
16 = 24 Тетрады
32 = 25

7 Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатиричную и обратно

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатиричную и обратно выглядит так же, как и для пути «восьмеричная

Пример: Переведем число CD2,0416 в двоичную систему счисления.

Разбиваем и заменяем:

C'D'2, 0'4 -> 1100'1101'0010, 0000'0100

CD2,0416 = 110011010010,0000012

Ответ: 110011010010,0000012.

Источник: http://akak-ich.ru/inf-sys_sch.php

Простая информатика — Система счисления

Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда).

Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления.

А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
 II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.

XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел). 

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд — это позиция цифры в числе. Разрядность числа — количество цифр, из которых состоит число (например, 264 — трехразрядное число, 00010101 — восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка — третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни. 

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:  0 – это ноль  1 – это один (и это предел разряда)  10 – это два  11 – это три (и это снова предел)  100 – это четыре  101 – пять  110 – шесть  111 – семь и т.д.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные. 

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 — это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

100010012 = 13710
Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях.

Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.

Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)  38 / 2 = 19 (0 остаток)  19 / 2 = 9 (1 остаток)  9 / 2 = 4 (1 остаток)  4 / 2 = 2 (0 остаток)  2 / 2 = 1 (0 остаток)

 1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Восьмеричная система счисления

Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему счисления.

Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц с одной стороны, а с другой – переводит числа из двоичной в десятичную систему и обратно, достаточно долго и трудоемко.

В результате, часто программисты используют другие системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. И 8 и 16 являются степенями двойки, и преобразовывать двоичное число в них (так же как и выполнять обратную операцию) очень легко.

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в двоичной системе счисления:

000 – 0  001 – 1  010 – 2  011 – 3  100 – 4  101 – 5  110 – 6

 111 – 7

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Т.е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в восьмеричной системе счисления. Или 10111012 = 1358.

Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 1008 (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 100 в десятичной) в двоичную систему счисления.

1008 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002 

Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:

6728 = 6 * 82 + 7 * 81 + 2 * 80 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
 1008 = 1 * 82 + 0 * 81 + 0 * 80 = 6410

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.

В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). 

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:

Например:
 10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (C следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи — это FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255 

255 – это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение – 255. Не забывайте про 0 – это как раз 256-е состояние

Источник: http://informatic.my1.ru/index/sistema_schislenija/0-45

15. Системы счисления. Правила перевода чисел

  1. Определение системы счисления, типы систем счисления.

Система счисления – это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления – это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления, в которой цифры обозначаются различными знаками: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 …

Основным недостатком такой системы является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная система счисления – это система, в которой значение символа зависит от его места (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 548 первая цифра означает количество сотен, вторая – десятков, третья – единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.

Позиционные системы счисления характеризуются основанием. Основание (или базис) позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.

Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий и цифр: a1, a2, ,…,an. При этом каждой цифре a1 в записи  числа ставится в соответствие определённый количественный эквивалент: «вес» — S1.

Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a1, взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания S:

Сокращенная запись числа NS имеет вид:

При этой позиции цифр a1 в этой записи называются разрядами. Старшие разряды, соответствующие более высоким степеням основания S, располагаются слева, а младшие – справа.

Цифры a1 в любом i-ом разряде могут принимать S различных значений,  при этом всегда ai2, в которых каждая цифра числа представляется в двоичной системе.

Наибольшее применение в ЭВМ получили восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная  двоично-кодированные системы счисления.

Двоично-восьмеричная система счисления. В этой системе каждая восьмеричная цифра представляется трехзначным двоичным числом – триадой. Например, = 001 011 111, 100 101   2-8.

1     3    7     4    5

Двоично-десятичная система счисления.  В этой системе каждая десятичная цифра представляет четырёхзначным двоичным числом – тетрадой. Например,

273,5910= 0010 0111 0011, 0101 1001   2-10.­

2       7      3        5        9

Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В этой системе (как и в двоично-десятичной) каждая шестнадцатеричная цифра представляется четырехзначным двоичным числом (тетрадой). Например,

39C16=0011 1001 1100   2-16

3      9    12=C

При работе со смешанными системами счисления справедливо следующее утверждение: если P=Sk (где P,S – основания систем, k – положительные целые числа), то запись любого числа в смешанной S-P системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием S с точностью до нулей в начале записи целой части числа и в конце дробной.

Согласно этому утверждению, если P=8, S=2, k=3, то запись любого числа в двоично-восьмеричной системе совпадает с записью этого же числа в двоичной системе.

Например: число 688 в двоично-восьмеричной системе будет  628=110 010 2-8;                                                                                                                                                                                        6     2

это же число в десятичной системе будет ; если теперь число 5010 представить в двоичной системе, получим 5010=110 0102.

Таким образом, двоичная  и двоично-восьмеричная запись одного итого же числа (628) совпадает.

40510 = 1100101012;

40510 = 19516;

19516 = 1 1001 0101  2-16 .

1     9       5

Сказанное справедливо и для записи любого числа в двоичной и двоично-шестнадцатеричной системах, P=16, S=2, k=4.

Например:

1010 = 10102;

1010 = 0001 0000 2-10;

1010 = 10102;

1010 = 0001 0000 2-10;

Однако, записи числа в двоичной и двоично-десятичной системах не совпадают. Для P=10 и S=2 нет такого целого числа k, чтобы выполнялось равенство 10=2k.

Например,

  1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Если число X из системы счисления с основанием s необходимо перевести в систему счисления с основанием p, перевод осуществляется по следующим правилам:

Правило 1.

При равенстве p=sk, где k – целое положительное число (например, p=8=23, k=3, s=2), в этом случае:

  • при переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, начиная с запятой в левую сторону для целой части и в правую – для дробной части, число разбивается по триадам и каждая триада заменяется восьмеричной цифрой;
  • при переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по триадам;
  • при переводе числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, число разбивается по тетрадам и каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой (P=16=24, k=4, s=2);
  • при сохранении числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по тетрадам.

Например,

  1. 011 011 011, 101 110 2 = 333,568 ;

3     3     3      5     6

  1. 167,568 = 001 110 111, 101 110 2 ;

1     6     7      5     6

  1. 0011 1011 0100, 1111 1010 2 = 3B4,FA16 ;

3      B      4        F       A

  1. A29,CF16 = 1010 0010 1001, 1100 1111 2.

A       2       9       C       F

Правило2.

При не выполнении равенства p=sk (где k – целое положительное число), в этом случае:

  • Целая часть числа делится на новое основание p; полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием p; затем полученное число снова делится на основание p, в результате определяется второй остаток, соответствующий следующей после младшей цифре числа с основанием p; деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя; последнее частное даёт старшую цифру числа с основанием p. Например,
  1. Перевести число 2610 в двоичную систему счисления:
26 2
26 13 2
(0) 12 6 2
(1) 6 3 2
(0) 2 (1)
(1)

Таким образом, 2610 = 110102.

  1. Перевести число 19110 в восьмеричную систему счисления:
191 8
184 23 8
(7) 16 (2)
(7)

Таким образом, 19110 = 2778.

  • Дробная часть числа умножается на новое основание p, при этом целая часть полученного произведения является старшей цифрой дробной части числа с основанием p; затем дробная часть произведения снова умножается на основание p; полученная часть произведения будет второй искомой цифрой; снова дробная часть умножается на основание p и т. д.

Например, число 0,3110 перевести в двоичную систему счисления:

Таким образом, 0.3110 = 0.01002.

Число цифр в числе, представленном в системе счисления с основанием p, определяется из условия, что точность числа в этой системе счисления должна соответствовать точности числа в системе счисления с основанием s.

В смешанных числах целая и дробная часть переводиться отдельно.

При переводе чисел в 10-тичную систему счисления пользуются разложением числа по степеням оснований системы счисления.

Например,

Источник: https://koralexand.ru/?page_id=109

Ссылка на основную публикацию