Переходные процессы в цепях переменного тока, законы коммутации, резонансные явления

Переходные процессы в электрических цепях

Переходными называют процессы, при которых происходит переход от одного установившегося состояния к другому.

Изучение переходных процессов позволяет предупредить опасность, которая может возникнуть, к примеру, в силовых цепях, где при разрыве цепи может возникнуть электрическая дуга, которая может привести не только к выходу цепи из строя, но и к травме обслуживающего персонала. Конечно же, переходные процессы существуют не только в таких цепях, но еще и например в устройствах связи, автоматики и радиотехники.

Зачастую причиной переходных процессов является коммутация цепей, откуда и получили название два закона коммутации. При коммутации происходит разрыв или соединение цепи, что вызывает изменение ЭДС или напряжения.

Первый закон коммутации

Первый закон коммутации применим к цепям, содержащим индуктивность, и гласит следующее: ток в индуктивности не может измениться скачком и в первый момент времени после коммутации остаётся таким же, как и до коммутации.

Этот закон можно пояснить на примере цепи с последовательно соединёнными резистором и катушкой. 

В начальный момент времени ключ SA разомкнут и ток в цепи отсутствует i=0. Отсутствие тока и напряжения в цепи описывает его установившееся состояние в начальный момент времени.

При замыкании SA возникает переходный процесс.

Причем в начальный момент времени ток в цепи отсутствует согласно закону коммутации, а следовательно ir=0 и все напряжение источника оказывается приложенным к катушке, то есть цепь как бы разомкнута индуктивностью.

Напряжение на катушке и резисторе описывается формулой 

За время переходного процесса происходит увеличение тока в цепи до максимального значения. После того, как переходный процесс прекратился, в цепи наблюдается установившийся режим и изменение тока di/dt=0, а следовательно и индуктивное напряжение uL=0.

Предположим, что переходный процесс отсутствует и ток в катушке изменился мгновенно, тогда di/dt=∞, а следовательно и напряжение uL равно бесконечности, чего быть не может.

Кроме того, переходный процесс прекращается при изменении энергии магнитного поля катушки до максимального значения, а мгновенно это произойти не может, так как для этого бы потребовался источник бесконечно большой мощности, который в природе не существует.

Второй закон коммутации

Второй закон коммутации применим к цепям, содержащим емкость, и гласит следующее: напряжение на емкости не может измениться скачком в первый момент времени после коммутации остаётся таким же, как и до коммутации.

Для пояснения второго закона рассмотрим зарядку конденсатора через резистор. 

В начальный момент времени до замыкания SA ток и напряжение в цепи равны нулю. После замыкания SA в цепи возникает переходный процесс в течении которого конденсатор заряжается до напряжения источника U.

Сразу же после замыкания согласно закону коммутации напряжение на конденсаторе равно нулю, а все напряжение источника приложено к резистору U=ir.

После завершения заряда конденсатора, напряжение на нем становится равным напряжению источника U=uc, его изменение прекращается duc/dt=0, следовательно, ток в цепи перестает протекать, конденсатор как бы разрывает цепь.

Напряжение на катушке и конденсаторе можно выразить с помощью второго закона Кирхгофа

Ток в цепи пропорционален изменению напряжения на конденсаторе 

Следовательно, напряжение в цепи равно 

Предположим, что напряжение на конденсаторе изменилось мгновенно, следовательно, duc/dt=∞ чего быть не может. Для мгновенного изменения напряжения на конденсаторе до значения равного напряжению источника потребовался бы источник бесконечной мощности, которого как уже было сказано не существует. 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.00 (0 Голоса)

Источник: https://electroandi.ru/toe/per-proc/perekhodnye-protsessy-v-elektricheskikh-tsepyakh.html

Переходных процессов. Законы коммутации

УДК 621.3.011

Г94

Отрецензировано на кафедре «Теоретическая и общая электротехника» Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева.

Гуляев, В.В.

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях : метод. пособие для студ. оч. и заоч. обуч. спец-ти 180407 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики» / В.В. Гуляев, А.А. Кралин, А.С. Репин. – Н. Новгород : Изд-во ФГБОУ ВО «ВГУВТ», 2015. – 44 с.

Пособие содержит теоретический материал и примеры решения задач по основным темам раздела «Переходные процессы в линейных электрических цепях» дисциплины «Теоретические основы электротехники».

Приведена методика расчета переходных процессов в цепях постоянного и переменного тока классическим и операторным методами. Рассмотрен расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля, а также методом переменных состояния.

В пособии разобраны многочисленные задачи на все рассмотренные методы расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях.

Для студентов очного и заочного обучения.

Работа рекомендована к изданию кафедрой электротехники и электрооборудования объектов водного транспорта (протокол № 11 от 24.05.2012 г.).

© ФГБОУ ВО «ВГУВТ», 2015

Глава 1. Переходные процессы

В линейных электрических цепях

С сосредоточенными параметрами

Рассмотрим определение переходных процессов и методы их анализа. Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного установившегося режима электрической цепи к другому установившемуся режиму, отличающемуся структурой цепи или параметрами ее элементов. Наиболее часто переходные процессы вызываются коммутацией, т.е.

замыканиями или размыканиями выключателей в цепи. Физически переходные процессы представляют процессы перехода от энергетического состояния цепи в докоммутационном режиме к измененному энергетическому состоянию послекоммутационного режима.

Они не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи.

Переходные процессы обычно являются быстро протекающими и их длительность составляет микро- и миллисекунды, редко достигая длительности секунд.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до аварийного выхода его из строя.

С другой стороны, переходные процессы находят широкое практическое применение, например, в различных устройствах силовой электроники, где важно задать закономерности изменения импульсов по амплитуде и частоте при прохождении их через различные функциональные блоки.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании линейных дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.

2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.

3. Метод переменных состояния,представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.

Глава 2. Определение классического метода расчета

переходных процессов. Законы коммутации

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи следующими соотношениями [1]:

– резистор (идеальное активное сопротивление);

– катушка индуктивности (идеальная индуктивность);

– катушка индуктивности при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током,;

– конденсатор (идеальная емкость),.

  Рис. 1 Рассмотрим электрическую цепь, содержащую последовательно соединенные линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (рис. 1).

По второму закону Кирхгофа запишем для мгновенных значений уравнение равновесия напряжений:

. (1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно напряжения на конденсаторе:

(2)

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

, (3)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.);– известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии);– постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Читайте также:  Автоматическая частотная разгрузка

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи (катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей, соединенных последовательно) и соответственно емкостей, соединения между которыми являются параллельными.

Как известно из математики, общий интеграл линейного дифференциального уравнения (3) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю.

Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения, применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение, соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для).

Частное решениеуравнения (3) определяется видом функции, стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей.

Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета установившегося режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных в [1] методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющаяобщего решения уравнения (3) соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) источники энергии на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется опосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная– свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение дифференциального уравнения (3) имеет вид

x =+ (4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса. Общее решение (4) дифференциального уравнения (3) определяет значения полного тока или полного напряжения той или иной ветви цепи, которые имеют место в действительности при переходном процессе и могут быть измерены и зафиксированы на осциллограммах.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, классический метод решения, основанный на разложении общего решения (4), справедлив также только для линейных цепей.

В соответствии с определением свободной составляющейв ее математическое выражение входят постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения.

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые.

К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени(момент коммутации).

Независимые начальные условия определяются на основании законов (правил) коммутации.

Первый закон (правило) коммутации. Ток через катушку индуктивности L непосредственно до коммутацииравен току непосредственно после коммутации:

. (5)

Времяпредставляет собой время непосредственно до коммутации,– после коммутации.

Второй закон (правило) коммутации. Напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутацииравно напряжению непосредственно после коммутации:

. (6)

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить возможность мгновенного скачка тока индуктивности или напряжения на конденсаторе, то получаются бесконечно большие значенияи, что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

Необходимо подчеркнуть, что более общей физической формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них.

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений в схеме (токи через конденсаторы, токи через резисторы, напряжения на индуктивностях, напряжения на резисторах).

К ним относят также значения производных от искомой функции, определяемых по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для момента коммутации.

Перечисленные токи, напряжения и их производные могут меняться скачком в момент коммутации, поэтому следует различать докоммутационные (при) и послекоммутационные (при) начальные условия.

Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку дифференциальное уравнение вида (3) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных допорядка включительно при.

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Источник: https://megalektsii.ru/s1871t4.html

Переходные процессы. Основные понятия. Законы коммутации

Лекция 1

Переходные процессы

Основные понятия. Законы коммутации

В предыдущих лекциях рассматривались методы расчета линейных эл. цепей в установившемся режиме, т.е. при таком режиме, когда токи и напряжения либо не изменялись во времени, либо представляли собой периодические функции (цепи синусоидального тока).

Переходным процессом в электрической  цепи называют состояние электрической  цепи при изменение   режима её работы.

Коммутацией называют режим переключения элементов эл. цепи.

При коммутации, переход от одного состояния электрической  цепи к другому не происходит мгновенно, а растягивается во времени.

Это объясняется тем, что каждому состоянию  электрической  цепи, содержащей индуктивности и емкости соответствует определённый запас энергии магнитных и электрических полей (катушек и конденсаторов).

Переход к новому режиму работы электрической  цепи связан с изменением этой энергии, которая не может измениться скачком (мгновенно).

[Мощности: PL= dWL/dt,  PC = dWC/dt    где: WL= Li2/2,  WC= CUc2/2  — энергия маг-го, электрического полей]. При t = 0 PL , PC  равны бесконечности, чего в природе не существует.

Применяя специальные схемы и подбирая соответствующие параметры цепи, можно ускорять или замедлять переходный процесс. В одних случаях переходные процессы нежелательны и опасны (например, в энергетических системах); в других случаях эти процессы являются рабочими режимами (например, радиотехнические устройства).

Существуют различные методы расчета переходных процессов и все они, наряду с использованием основных законов электротехники основаны на двух законах коммутации, которые основаны на рассуждении о невозможности мгновенного изменения энергии магнитного и электрического полей.

Первый закон коммутации.

В начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности остаётся таким  же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

Другими словами: При коммутации, ток в индуктивности не может  измениться скачком.

Второй закон коммутации

В начальный момент времени после коммутации напряжение на ёмкости остаётся   таким  же, каким оно было непосредственно перед коммутацией, а затем плавно  изменяется.

Другими словами: При коммутации, напряжение на ёмкости не может   измениться скачком.

При этом следует отметить, что в цепях идеализированными, сосредоточенными параметрами скачком могут изменяться:

1. Токи в резисторах и конденсаторах,

2.  Напряжения в резисторах и индуктивностях.

Математические основы анализа переходных процессов

После коммутации для мгновенных значений по второму закону Кирхгофа получим уравнение:         uR + uL + uC = u    или относительно тока интегро-дифференциальное  уравнение

Общее решение этого  неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами   складывается из общего решения однородного уравнения, правая часть которого равна нулю, и частного решения того же уравнения с правой частью.  

В цепи, не содержащей внешних источников энергии, переходный режим будем называть свободным. В этом случае напряжения и токи будем считать свободными, и обозначать с индексами «св».

Получим уравнение для свободного режима:

Общее решение  однородного дифференциального уравнения n-го порядка, например,   для тока имеет вид:

где:  А1, А2, … Аn — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

p1, p2,.. pn   — корни характеристического уравнения, соответствующие данному   дифференциальному уравнению.

В цепи,  содержащей внешние источники энергии, переходный режим будем называть принуждённым. В этом случае напряжения и токи будем считать принужденными, и обозначать с индексами «пр».

Для нашего случая уравнение принуждённого режима имеет вид:

Решение  этого однородного дифференциального уравнения является стандартное решение для установившегося режима работы цепи.

Тогда реальный ток переходного процесса определится:

Таким  образом, реальный ток переходного процесса или падение напряжения на каком — либо элементе цепи определится путём наложения двух режимов свободного и принуждённого.

Для искомой схемы (рис.1) изобразим схемы свободного и принуждённого режимов:

Два вида задач при расчёте переходного процесса

1. Задача с нулевыми начальными условиями:  

2. Задача с ненулевыми   начальными условиями: 

Источник: https://vunivere.ru/work49548

Переходные процессы в цепях второго порядка

Ранее рассматривались переходные процессы в RL- и -цепях, которые относятся к цепям первого порядка, так как описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.11), (6.23).

При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные процессы в них описываются уравнением второго порядка. Простейшим примером такой цепи является последовательный колебательный контур (рис. 6.

11).

Для этого контура можно по аналогии с RL- и -цепью составить дифференциальное уравнение второго порядка, выбрав в качестве независимой переменной напряжение на емкости

Учитывая, что i = CduC/dt окончательно получаем
(6.37)

Решение дифференциального уравнения (6.37) ищется согласно (6.5) в форме суммы свободной uCсв и принужденной uCпр составляющих:
(6.38)

Вид uCпр зависит от характера приложенного напряжения, а uCсв определится решением однородного дифференциального уравнения второго порядка:
(6.39)

Решение уравнения (6.39) зависит от вида корней характеристического уравнения
(6.40)

Корни уравнения (6.40) определяются только параметрами цепи независимо от выбранной переменной:
(6.41)

Величина a = R/2L носит название коэффициента затухания контура, аесть резонансная частота контура (см. § 4.2). Таким образом, уравнение (6.41) можно переписать в виде
(6.42)

Характер переходного процесса существенным образом зависит от вида корней р1, р2, которые могут быть:
1) вещественными и различными (при R>2);
2) комплексно-сопряженными (при R2, корни p1 и р2 в (6.41) будут вещественными и различными, и решение уравнения определится согласно (6.7):
(6.43)
где A1 и A2 — постоянные интегрирования. Для определения A1 и A2 запишем еще уравнение для тока в цепи:
(6.44)

Постоянные A1 и A2 можно найти из начальных условий для uC(0–) = U и i(0–) = 0 (при t = 0–) и законов коммутации (6.1), (6.2):
(6.45)

Из решения системы уравнение (6.45)

В результате получаем уравнения для напряжения UC и тока i:
(6.46)
(6.47)

Закон изменения напряжения на индуктивности определяется при этом уравнением
(6.48)

Из уравнений (6.46)—(6.48) следует, что каждая из найденных величин uC, i, uL состоит из двух слагаемых, затухающих по экспоненте с коэффициентами p1 < 0 и p2 < 0. На рис. 6.12 показан характер зависимостей (6.

46)—(6.48). Момент времени t1, соответствующий точке перегиба uC, максимуму | i | и нулевому значению uLопределяется из решения уравнения di / dt = 0, а момент t2 из решения уравнения duL / dt = 0:
(6.

49)

Анализ полученных кривых показывает, что в рассматриваемом случае происходит апериодический разряд емкостиС, причем в интервале от 0 до t1 энергия WC расходуется на покрытие тепловых потерь в резистивном сопротивлении R и создание магнитного поля в индуктивности ( pC = uC i < 0; pL = uL i > 0).

В дальнейшем (при t > t1) как энергия электрического поля емкости WC, так и запасенная к моменту t = t1 магнитная энергия индуктивности WLрасходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении R.

Отрицательное значение тока свидетельствует о противоположном направлении тока разряда относительно опорного направления.

Во втором случае при R < 2, когда корни p1 и p2 носят комплексно-сопряженный характер,
(6.50)
гденазывают частотой собственных затухающих колебаний. Решение уравнения (6.39) имеет вид (6.9)
(6.51)
где A и— постоянные интегрирования. Закон изменения тока в цепи
(6.52)

Постоянные A иопределяются из начальных условий для uC и i и законов коммутации (6.1), (6.2):
(6.53)

Отсюда

Окончательно уравнения для uC, i и и принимают вид
(6.54)
(6.55)

(6.56)

Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место колебательный разряд емкости с частотойс, зависящей только от параметров R, L, С цепи. Интервал времени Тc = 2/с носит название квазипериода. На рис. 6.

13 изображены графики зависимостей uC(t) и i(t) определяемых уравнениями (6.54) и (6.55).

Скорость затухания периодического процесса принято характеризовать декрементом затухания, который определяют как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака (см. рис. 6.13):
(6.57)

На практике чаще используется логарифмический декремент затухания
(6.58)

Из уравнений (6.57) и (6.58) следует, что затухание тем больше, чем больше R. При R = 2колебания прекращаются и переходной процесс становится апериодическим. При R = 0 оказываются незатухающие гармонические колебания с частотойс =0 =.

Очевидно, что этот случай представляет чисто теоретический интерес, так как в любом реальном контуре имеются потери.

В процессе колебательного разряда емкости (свободных колебаний вRLC-контуре) имеет место попеременное запасание энергии WC в электрическом поле емкости и магнитном поле индуктивности WL: в начале энергия WC расходуется на создание магнитного поля WL индуктивности и покрытие тепловых потерь сопротивления R, затем запасенная энергия WL, расходуется на перезаряд емкости и покрытие потерь в R и т. д. до полного перехода первоначальной энергии Wc(0) в тепловые потери в резисторе R.

Третий случай R = 2является пограничным между колебательным и апериодическим и соответствует критическому разряду емкости. Решение уравнения (6.39) при этом имеет вид (6.8)
(6.59)

Ток определяется уравнением
(6.60)
где p1 = p2 = p = -a — корни характеристического уравнения (6.40); А1, А2 — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий для uC и i и законов коммутации (6.1), (6.2):

Отсюда А2 = aU. Окончательные выражения для напряжения и тока принимают вид
(6.61)
(6.62)
(6.63)

По своей форме графики зависимостей (6.61)—(6.63) аналогичны кривым, изображенным на рис. 6.12 с той лишь разницей, что их скорость изменения больше, чем при R > 2. Значение R = 2носит название критического сопротивления контура.

6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение

Включение RLC-контура на постоянное напряжение. Рассмотрим случай нулевых начальных условий uC(0–) = 0,i(0–) = 0, когда RLC-контур включается на постоянное напряжение (рис. 6.14).

Отличие данного случая от рассмотренного выше заключается в нулевых начальных условиях и наличии принужденной составляю щей uCпр = U. Свободная составляющая uCсв определяется, как и ранее, уравнениями (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида корней р1 и р2.

Постоянные интегрирования А1 и А2 находятся при этом из начальных условий i(0–) = 0, uC(0–) = 0 и законов коммутации для i и uC. Определим, например, закон изменения uC, i и uL в случае, когда корни р1 и р2 — вещественные и различные. При этом uC св определяются уравнением (6.

43), а напряжение uC и ток i имеют следующий вид:
(6.64)

Для нахождения коэффициентов А1 и А2 используем начальные условия uC(0– ) = 0 и i(0– ) = 0, а также законы коммутации, определяемые выражениями (6.1),(6.2):
(6.65)

Тогда
(6.66)

Окончательные уравнения для иС, i, иL имеют вид
(6.67)
(6.68)
(6.69)

На рис. 6.15 изображены графики зависимостей (6.67)—(6.69), где моменты времени t1 и t2 определяются уравнениями (6.49). Сравнение формул (6.67)—(6.69) с (6.46)—(6.48) показывает, что ток i и напряжение иLотличаются только знаком, а напряжение иС — наличием постоянной составляющей U.

Аналогичным можно найти уравнения напряжений и тока для случая R < 2:
(6.70)
(6.71)
(6.72)

На рис. 6.15 штриховой линией показана зависимость (6.70), которая свидетельствует о колебательном характере заряда емкости. Таким же образом можно получить уравнения для uC, i и uL для случая критического заряда емкостиС при R = 2.

Включение RLC-контура на гармоническое напряжение.При включении RLC-контура на гармоническое напряжение u = Umsin(t +u ) принужденная составляющая напряжения на емкости
(6.73)
гдеC =u +—/2. Здесь фазовый сдвиг между током в контуре и приложенным напряжением
(6.74) а амплитуда принужденного напряжения на емкости

(6.75)

Учитывая, что колебательный контур в радиотехнических устройствах, как правило имеет высокую добротность, т. е. выполняется условие R2, то свободная составляющая uCсв определяется уравнением (6.51), и закон изменения напряжения на емкости будет иметь вид
(6.76)

Взяв производную от выражения (6.76), и учтя, что для заданного контура, получим уравнение тока
(6.77)

Постоянные интегрирования A инаходим из начальных условий и законов коммутации:
(6.78)

Откуда
(6.79)
(6.80)

Подставив значения А ииз уравнений (6.79), (6.80) в (6.76) и (6.77), получим окончательный закон изменения напряжения на емкости и тока в RLC-контуре:
(6.81)
(6.82)

Анализ уравнений (6.81), (6.82) показывает, что в случае, когда частота приложенного напряжениясущественно превышает резонансную частоту контура0 приC0 в цепи могут возникнуть сверхнапряжения, а в случаеиC/2 — сверхтоки.

Если частота задающего напряжения=0, то при этом в цепи возникают явления изохронизма, когда напряжение на емкости и ток в контуре плавно изменяется в соответствии с уравнениями:
(6.83)
(6.84)

При этом переходный процесс протекает без перенапряжений и сверхтоков (рис. 6.16, а).

В случае, когда частота заданного напряженияи резонансная частота контура0 близки между собой, то в контуре возникают явления биений. Положим, что a = 0, тогда
(6.85)
где UmС(t) = 2UmСсost — амплитуда биений с угловой частотой= (—0 )/2. На рис. 6.16, б, показан график изменения напряжений биений (6.85).

Источник: https://lektsia.com/4x9ffb.html

1 Переходные процессы и законы коммутации 2 Переходные

1 Переходные процессы и законы коммутации

2 Переходные процессы возникают при включении или отключении источников, элементов цепи, при коротких замыканиях и обрывах проводов, а также при различных импульсных воздействиях на цепь, например, при грозовых разрядах

3 Переходный процесс или переходный режим цепи – это изменение во времени напряжений и токов от одних установившихся значений к другим установившимся значениям

4 Установившиеся значения напряжений и токов характеризуют установившийся режим цепи и могут оставаться неизменными бесконечно долго, причем эти значения задаются источниками электрической энергии

5 При анализе и расчете переходных процессов будем считать, что переходные процессы возникают при включении или отключении элементов цепи посредством ключей, причем эта коммутация происходит мгновенно быстро в момент времени t=0

6 Ключ замыкается:

7 Ключ замыкается:

8 Ключ замыкается:

9 Ключ размыкается:

10 Ключ размыкается:

11 при времени t= переходный процесс теоретически заканчивается и наступает новый установившийся режим время t

12 момент времени t=0+ соответствует первому моменту времени после коммутации скачок – это мгновенное изменение напряжения или тока при t=0+

13 f(t) t Установившийся режим до коммутации Переходный режим Установившийся режим после коммутации 0

14 Законы коммутации

15 + 1. Первый закон коммутации

16 Ток в индуктивности не может измениться скачком

17 Это объясняется тем, что энергия магнитного поля индуктивного элемента WL=LiL2/2 , Дж не может измениться мгновенно, для чего потребовалась бы бесконечно большая мощность PL=dWL/dt= , Вт и бесконечно большое напряжение uL=d(LiL)/dt= , В а это не реально

18 — напряжение может измениться скачком

19 t 0

20 + 2. Второй закон коммутации

21 Напряжение на емкости не может измениться скачком

22 Это объясняется тем, что энергия электрического поля емкостного элемента WC=CuC2/2 , Дж не может измениться мгновенно, для чего потребовалась бы бесконечно большая мощность PC=dWC/dt= , Вт и бесконечно большой ток iC=d(CuC)/dt= , А а это не реально

23 — ток может измениться скачком

24 t 0

25 Переходный процесс обусловлен наличием в цепи L и C

26 К л а с с и ч е с к и й метод расчета переходных процессов

27 Используется для линейных цепей, которые характеризуются линейными дифференциальными уравнениями, составляемыми при помощи законов Кирхгофа для цепи после коммутации

28 — уравнение 1

29 это линейное неоднородное дифференциальное уравнение n- порядка для тока или напряжения f(t) переходного процесса при t>0 (схема после коммутации)

30 Где: постоянные коэффициенты, определяемые параметрами (R, L, C) и структурой цепи после коммутации

31 Где: функция, определяемая (независимыми) источниками цепи после коммутации

32 Решение уравнения 1:

33 Где: принужденная составляющая – это частное решение уравнения 1, зависящее от F(t)

34 Где: свободная составляющая – это общее решение однородного уравнения 1 при F(t) = 0

35 При постоянных и гармонических источниках это установившееся значение после коммутации

36 зависит от корней характеристического уравнения и начальных условий

37 Характеристическое уравнение 3:

38 а) если корни уравнения 3 вещественные, отрицательные и разные

39 То тогда

40 б) если корни уравнения 3 вещественные, отрицательные и одинаковые, т.е.

41 То тогда

42 в) если корни уравнения 3 комплексные и попарно сопряженные, т.е.

43 То тогда

44 Где: постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями

45 Где: коэффициенты затухания свободных колебаний

46 Где: угловые частоты свободных колебаний

47 Различают: а) независимые начальные условия и

48 б) зависимые начальные условия и другие величины

49 в) принужденные значения, определяемые из расчета установившегося режима после коммутации

50 + + Пример:

51 Дано: Определить: начальные условия и принужденные составляющие

52 а) независимые начальные условия (схема до коммутации)

53 б) зависимые начальные условия (схема после коммутации при )

54 + +

55

56

57

58 в) принужденные составляющие (схема после коммутации при t = ) При постоянных источниках: L – закоротка, С – разрыв.

59

Источник: http://present5.com/1-perexodnye-processy-i-zakony-kommutacii-2-perexodnye/

Закон Ома для цепи переменного тока. Мощность в цепи переменного тока. Резонанс в электрической цепи. | Объединение учителей Санкт-Петербурга

Сообщение об ошибке

Notice: Undefined index: HTTP_USER_AGENT в функции eval() (строка 163 в файле /home/www/eduspb.com/data/modules/php/php.module(80) : eval()'d code).

Закон Ома для полной цепи переменного тока.

Если в цепи переменного тока имеются нагрузки разных типов, то закон Ома выполняется только для максимальных (амплитудных) и действующих значений тока и напряжения.

В этом случае: 

 — полное сопротивление переменному току.

Учитывая, что отношение напряжения к силе тока – это сопротивление, и подставляя конкретные выражения для соответствующих сопротивлений, получим: .

Сдвиг фаз в цепи переменного тока определяется характером нагрузки:

   или .

Мощность в цепи переменного тока.

Активной мощностью переменного тока называется средняя за период мощность необратимых преобразований в цепи переменного тока (преобразование энергии электрического тока во внутреннюю энергию): 

или, переходя к действующим значениям, .

Величина  наз. коэффициентом мощности. При малом коэффициенте мощности потребляется лишь малая часть мощности, вырабатываемой генератором. Остальная часть мощности периодически перекачивается от генератора к потребителю и обратно и рассеивается в линиях электропередач.

коэффициент мощности

Резонанс в электрической цепи.

Резонанс в электрической цепи — явление резкого возраста­ния амплитуды вынужденных колебаний тока при приближении частоты внешнего напряжения (эдс) и собственной частоты колебательного кон­тура.

Из выражения для полного сопротивления переменному току 

видим, что сопротивление будет минимальным (сила тока при заданном напряжении – максимальной) при условии  или .

Следовательно,  — т.е. частота изменения внешнего напряжения равна собственной частоте колебаний в контуре.

Амплитуды колебаний напряжения на индуктивности и емкости будут равны

и 

— т.е. они равны по величине и противоположны по фазе (напряжение на индуктивности опережает по фазе напряжение на емкости на p).

Следовательно, .

Полное падение напряжения в контуре равно падению напряжения на активном сопротивлении. Амплитуда установившихся колебаний тока будет опреде­ляться уравнением .  В этом и состоит смысл явления резонанса.

При этом если величина ,

 то напряжения на емкостной и индуктивной нагрузках могут оказаться много больше внешнего напряжения (эдс генератора)!

На рисунке представлена зависимость тока в колеба­тельном контуре от частоты при значениях R, где R1

Источник: http://www.eduspb.com/node/1795

Ссылка на основную публикацию